Thunderbird weist einen immer wieder darauf hin, dass neue Mails abgerufen wurden. In einigen Fällen mag das nützlich sein, aber insgesamt wird so nur der Psychologische Druck erhöht nachzuschauen, welche neuen Mails angekommen sind.
Konzentriert mensch sich auf eine Aufgabe ist dieser Hinweis kontraproduktiv.

Ganz allgemein geht dies unter Extras => Einstellungen => Allgemein den Haken bei ‚Eine Benachrichtigung anzeigen‚ entfernen. Nichtsdestotrotz wird in der Taskleiste rechts unten immer noch ein Symbol angezeigt aber auch dieses lässt sich deaktivieren.

Zum Abschalten gibt es zwei Möglichkeiten.

In Thunderbird selber:
Extras => Einstellungen => Erweitert => Allgemein => Konfiguration bearbeiten aufrufen. Ins Suchfeld mail.biff.show_tray_icon eingeben und einfach umstellen auf false (mit rechter Maustaste). Zum reaktivieren einfach wieder auf true schalten.

Unter Windows:
Mit der rechten Maustaste auf die Symbolleiste klicken. Unter Eigenschaften der Taskleiste auf den Button Anpassen (der Infoleiste) und dort für Thunderbird Symbol und Benachrichtigungen ausblenden auswählen.